Question

3．設(shè)矩陣$M=[{\begin{array}{l}2&0\\ 0&3\end{array}}]$，求曲線C：x²+y²=1在矩陣M^-1所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到的曲線方程．

Answer 1

分析 先求出矩陣M^-1，再設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y）在矩陣M^-1對(duì)應(yīng)的變換下得到P'（x'，y'），根據(jù)矩陣的性質(zhì)即可求出答案．

解答 解：：${M^{-1}}=[{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}&0\\ 0&{\frac{1}{3}}\end{array}}]$，設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y）在矩陣M^-1對(duì)應(yīng)的變換下得到P'（x'，y'），
則$[{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}&0\\ 0&{\frac{1}{3}}\end{array}}][{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}]=[{\begin{array}{l}{x'}\\{y'}\end{array}}]$，即$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x=x'}\\{\frac{1}{3}y=y'}\end{array}}\right.$，因此$\left\{{\begin{array}{l}{x=2x'}\\{y=3y'}\end{array}}\right.$，
因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）滿足曲線C：x²+y²=1，
所以有4x'²+9y'²=1，
因此可得在矩陣M^-1所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的曲線方程為4x²+9y²=1

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩陣變換的應(yīng)用，考查逆矩陣的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．