Question

【題目】某地4個蔬菜大棚頂部，陽光照在一棵棵茁壯生長的蔬菜上．這些采用水培、無土栽培方式種植的各類蔬菜，成為該地區(qū)居民爭相購買的對象．過去50周的資料顯示，該地周光照量（小時）都在30以上．其中不足50的周數(shù)大約有5周，不低于50且不超過70的周數(shù)大約有35周，超過70的大約有10周．根據(jù)統(tǒng)計某種改良黃瓜每個蔬菜大棚增加量（百斤）與每個蔬菜大棚使用農(nóng)夫1號液體肥料（千克）之間對應數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖：

（Ⅰ）依據(jù)數(shù)據(jù)的折線圖，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；并根據(jù)所求線性回歸方程，估計如果每個蔬菜大棚使用農(nóng)夫1號肥料10千克，則這種改良黃瓜每個蔬菜大棚增加量是多少斤？

（Ⅱ）因蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為應對惡劣天氣對光照的影響，為該基地提供了部分光照控制儀，該商家希望安裝的光照控制儀盡可能運行，但每周光照控制儀最多可運行臺數(shù)受周光照量限制，并有如下關系：

周光照量（單位：小時）
光照控制儀最多可運行臺數(shù)	3	2	1

若某臺光照控制儀運行，則該臺光照控制儀周利潤為5000元；若某臺光照控制儀未運行，則該臺光照控制儀周虧損800元，欲使商家周總利潤的均值達到最大，應安裝光照控制儀多少臺？

附：回歸方程系數(shù)公式： ．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）算出樣本中心點的坐標，利用公式求得，由可得，即可得回歸方程，再將時代入即可得結(jié)果；（Ⅱ）分別求出安裝2臺光照控制儀的周利潤的均值、安裝3臺光照控制儀的均值，與安裝1臺光照控制儀可獲得周利潤進行比較即可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ） ， ，

， ，

所以關于的線性回歸方程為，

當時， 百斤＝550斤，

所以估計如果每個蔬菜大棚使用農(nóng)夫1號肥料10千克，則這種改良黃瓜每個蔬菜大棚增加量是500斤．

（Ⅱ）記商家總利潤為元，由已知條件可知至少需安裝1臺，

①安裝1臺光照控制儀可獲得周利潤5000元，

②安裝2臺光照控制儀的情形：

當時，一臺光照控制儀運行，此時元，

當時，兩臺光照控制儀都運行，此時元，

故的分布列為

	4200	10000
	0.2	0.8

所以元，

③安裝3臺光照控制儀的情形：

當時，一臺光照控制儀運行，此時元，

當時，兩臺光照控制儀運行，此時元，

當時，三臺光照控制儀都運行，此時元，

故的分布列為

	3400	9200	15000
	0.2	0.7	0.1

所以元，

綜上，為使商家周總利潤的均值達到最大應該安裝2臺光照控制儀．

【方法點晴】本題主要考查線性回歸方程及離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，屬于難題.求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)確定兩個變量具有線性相關關系；②計算的值；③計算回歸系數(shù)；④寫出回歸直線方程為；(2) 回歸直線過樣本點中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.