Question

如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=2

3

，沿對角線BD將三角形ABD向上折起，使點A移至點P，且點P在平面BCD上的射影O在DC上得到圖2．
（1）求證：BC⊥PD；
（2）判斷△PDC是否為直角三角形，并證明；
（3）（文）若M為PC的中點，求三棱錐M-BCD的體積．
（理）若M為PC的中點，求二面角M-DB-C的大�。�

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得PO⊥BC，BC⊥CD，從而BC⊥平面PDC，由此能證明BC⊥PD；
（2）由已知條件條件出PD⊥平面PBC，從而PD⊥PC，由此證明△PDC是直角三角形．
（3）（文）由已知條件推導出M到平面BDC的距離h=

2

，S△DBC=

1

2

×6×2

3

=6

3

，由此能求出三棱錐M-BCD的體積．
（3）（理）以平行于BC的直線為x軸，以OC為y軸，以OP為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角M-DB-C的大�。�

解答： （1）證明：∵點P在平面BCD上的射影O在DC上，
∴PO⊥BC，
∵BC⊥CD，PO∩CD=O，
∴BC⊥平面PDC，
∵PD?平面PDC，
∴BC⊥PD；
（2）解：△PDC是直角三角形．
∵BC⊥PD，PD⊥PB，BC∩PB=B，
∴PD⊥平面PBC，
∴PD⊥PC，
∴△PDC是直角三角形．
（3）（文）解：PD=2

3

，DC=6，DP⊥CP，
∴PC=2

6

，PO=

2 6 ×2 3

6

=2

2

，DO=2，OC=4，
∵M為PC的中點，∴M到平面BDC的距離h=

2

，
S△DBC=

1

2

×6×2

3

=6

3

，
∴三棱錐M-BCD的體積V=

1

3

×

2

×6

3

=2

6

．
（3）（理）解：如圖，以平行于BC的直線為x軸，
以OC為y軸，以OP為z軸建立空間直角坐標系，
則O（0，0，0），P（0，0，2

2

），D（0，-2，0），
C（0，4，0），B（2

3

，4，0），M（0，2，

2

），

DB

=(2

3

，6，0)，

DM

=（0，4，

2

），
設平面DBM的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • DB =2 3 x+6y=0 n • DM =4y+ 2 z=0

，取x=

3

，得

n

=（

3

，-1，2

2

），
又

m

=（0，0，1），
∴cos＜

n

，

m

＞=

2 2

3+1+8

=

6

3

二面角M-DB-C的大小arccos

6

3

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查三菱錐體積的求法，考查二面角的求法，解題時要注意向量法的合理運用．