Question

如圖O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且

OA

+k•

OB

+t•

OC

=

0

，（k，t∈R）

（Ⅰ）若O是△ABC的重心，寫出k，t的值；
（Ⅱ）若O是△ABC的外心，且k=

3

，t=

6

，求cos∠AOB的值；
（Ⅲ）若O是△ABC的外心，且AB=2，AC=3，求

OA

•

BC

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）因?yàn)镺是△ABC的重心，所以k=t=1；
（Ⅱ）若O是△ABC的外心，則|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|，又因?yàn)?span id="7yjpbh2" class="MathJye">

OA

+

3

OB

+

6

OC

=

O

，所以

OA

+

3

OB

=-

6

OC

，兩邊平方即可求出cos∠AOB的值；
（Ⅲ）取BC中點(diǎn)為D，連接OD，AD，因?yàn)镺為△ABC的外心，所以O(shè)D⊥BC，進(jìn)而求出

OA

•

BC

的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)镺是△ABC的重心，
所以k=t=1；
（Ⅱ）若O是△ABC的外心，
則|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|，
又因?yàn)?span id="mdfslda" class="MathJye">

OA

+

3

OB

+

6

OC

=

O

，
所以

OA

+

3

OB

=-

6

OC

，
兩邊平方可得，1+3+2

3

cos∠AOB=6，
即cos∠AOB=

3

3

；
（Ⅲ）取BC中點(diǎn)為D，連接OD，AD，
因?yàn)镺為△ABC的外心，
所以O(shè)D⊥BC，

OA

•

BC

=（

OD

+

DA

）•

BC

=

DA

•

BC

=-

1

2

（

AB

+

AC

）•（

AC

-

AB

）
=-

1

2

（

AC

²-

AB

²）
=-

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面向量數(shù)量積的定義以及性質(zhì)的應(yīng)用，考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．