Question

等差數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，a₁=3，前n項和為S_n，{b_n}為等比數(shù)列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
（1）求a_n與b_n；
（2）若不等式

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

m-2010

4

對n∈N^*成立，求最小正整數(shù)m的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由條件建立方程組即可求出數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）利用裂項法先求出數(shù)列的和，然后再解不等式即可．

解答： 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則d為正整數(shù)，a_n=3+（n-1）d，bn=qn-1，
∵b₂S₂=64，b₃S₃=960．
∴

S3b3=(9+3d)q2=960 S2b2=(6+d)q=64

，
解得

d=2 q=8

，或

d=- 6 5 q= 40 3

（舍去），
故an=3+2(n-1)=2n+1，bn=8n-1．
（2）∵S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

＜

3

4

≤

m-2010

4

，
解得m≥2013，
∴所求m的最小正整數(shù)是2013．

點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的計算，以及利用裂項法進行求和的知識，考查學生的計算能力．