Question

已知函數(shù)f（x）=xⁿ-alnx（a是實(shí)數(shù)，n是正整數(shù)）
（1）已知a=n=2，求y=f（x）的極值；
（2）已知n=1，是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=f（x）在x∈[e，e²]的最大值為e，若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為零，并說(shuō)明是極大值還是極小值；（2）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的特征可知最大值在端點(diǎn)取得，討論求a的值．

解答： 解：（1）f（x）=x²-2lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵f′（x）=2x-

2

x

=2

x2-1

x

，
令f′（x）=0，解得，x=1．
則在x=1附近，左側(cè)f′（x）＜0，右側(cè)f′（x）＞0，
則y=f（x）在x=1處取的極小值：f（1）=1．
（2）f（x）=x-alnx，f′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

，
則函數(shù)y=f（x）在[e，e²]的最大值只可能在端點(diǎn)上取得，
若f（e）=e-a=e，則a=0，
此時(shí)f（x）=x，最大值應(yīng)為e²，故不成立；
若f（e²）=e²-2a=e，則a=

e2-e

2

，
此時(shí)，f（x）=x-

e2-e

2

lnx在[e，e²]上單調(diào)遞增，成立．
綜上所述，a=

e2-e

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想，屬于中檔題．