Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+

2

3

a（a＞0）
（1）試求計論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x≥0時，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)恒成立問題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=x²-ax=x（x-a）；由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由（1）知，化恒成立問題為f（a）＞0；即

1

3

a³-

1

2

a•a²+

2

3

a＞0；從而求解．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+

2

3

a（a＞0）
∴f′（x）=x²-ax=x（x-a）；
∴當(dāng)x∈（-∞，0），（a，+∞）時，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（0，a）時，f′（x）＜0；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，0），（a，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間是（0，a）；
（2）由（1）知，f（x）在（0，a）單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增；
故當(dāng)x≥0時，f（x）＞0恒成立可化為f（a）＞0；
即

1

3

a³-

1

2

a•a²+

2

3

a＞0；
即（a+2）a（a-2）＜0；
又∵a＞0；
∴0＜a＜2．
即a的取值范圍為（0，2）．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，屬于中檔題．