Question

過點P（-2，1）作兩條斜率互為相反數(shù)的直線，分別與拋物線x²=4y交于A，B兩點，若直線AB與圓C：x²+（y-1）²=1交于不同兩點M，N，則|MN|的最大值是

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線與圓的位置關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：第一步：設(shè)直線PA的斜率為k₀，則直線PA的方程為y-1=k₀（x+2），與拋物線方程聯(lián)立，得A點的坐標（用k₀表示），同理得B點的坐標，繼而得直線AB的斜率；
第二步：設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，聯(lián)立圓C與直線AB的方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，由韋達定理，得兩根之和及兩根之積，由△＞0，得b的范圍；
第三步：由弦長公式寫得|MN|的表達式，并根據(jù)b的范圍，探究|MN|的最值．

解答： 解：設(shè)直線AB的斜率為k，點A的坐標為（x₀，y₀），直線PA的斜率為k₀，
則直線PA的方程為y-1=k₀（x+2），
聯(lián)立x²=4y，消去y，整理得x²-4k₀x-8k₀-4=0，
變形為[x-（4k+2）]（x+2）=0，得x₀=2+4k₀，
將x₀的值代入拋物線的方程中，得y0=(1+2k0)2，從而A（2+4k₀，（1+2k₀）²）．
易知，直線PB的斜率為-k₀，同理得B（2-4k₀，（1-2k₀）²），
∴直線AB的斜率k=

(1+2k0)2-(1-2k0)2

(2+4k0)-(2-4k0)

=1．
于是可設(shè)直線AB的方程為y=x+b，點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立圓C與直線AB的方程，有

x2+(y-1)2=1 y=x+b

，
消去y，整理得2x²+2（b-1）x+b²-2b=0，
由韋達定理，得x₁+x₂=1-b，x1x2=

b2-2b

2

．
∵直線AB與圓有兩個公共點M，N，
∴△=（2b-2）²-4×2（b²-2b）＞0，解得1-

2

＜b＜1+

2

．
由弦長公式，得|MN|=

k2+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

(1-b)2-4× b2-2b 2

=

2

•

-b2+2b+1

=

2

•

-(b-1)2+2

，
當b=1時，|MN|_max=

2

•

2

=2．
故答案為：2．

點評：本題屬直線、拋物線與圓的綜合題，難度中等，主要考查了直線與拋物線、直線與圓的相交關(guān)系、韋達定理及弦長公式的應用等．對于弦長最值的求解，一般是先寫出弦長的表達式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問題來處理．