Question

14．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2，正三角形ABC的頂點(diǎn)都在C₁上，且A，B，C依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）求點(diǎn)B，C的直角坐標(biāo)；
（2）設(shè)P是圓C₂：x²+（y+$\sqrt{3}$）²=1上的任意一點(diǎn)，求|PB²|+|PC|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出曲線C₁的直角坐標(biāo)方程，由此能求出點(diǎn)B，C的直角坐標(biāo)．
（2）由圓C₂的參數(shù)方程結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式，利用三角函數(shù)性質(zhì)能求出|PB²|+|PC|²的取值范圍．

解答 解：（1）∵曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2，∴曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4，
∵正三角形ABC的頂點(diǎn)都在C₁上，且A，B，C依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2cos120°，2sin120°），即B（-1，$\sqrt{3}$），
C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2cos240°，2sin240°），即C（-1，-$\sqrt{3}$）．
（2）∵圓C₂：x²+（y+$\sqrt{3}$）²=1，∴圓C₂的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=-\sqrt{3}+sinα}\end{array}\right.，0≤α＜2π$，
設(shè)點(diǎn)P（cosα，-$\sqrt{3}+sinα$），0≤α＜2π，
∴|PB²|+|PC|²=$（cosα+1）^{2}+（sinα-2\sqrt{3}）^{2}$+（cosα+1）²+sin²α
=16+4cosα-4$\sqrt{3}$sinα
=16+8cos（$α+\frac{π}{3}$），
∴|PB²|+|PC|²的范圍是[8，24]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查代數(shù)和的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意公式參數(shù)方程和普通方程的互化和兩點(diǎn)間距離公式、三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．