Question

5．如圖所示，已知ABCD為梯形，AB∥CD，CD=2AB，且PD⊥平面ABCD，M為線段PC上一點．
（1）當(dāng)∠CBD=90°時，證明：平面PBC⊥平面PDB；
（2）設(shè)平面PAB∩平面PDC=l，證明：AB∥l
（3）當(dāng)平面MBD將四棱錐P-ABCD恰好分成兩個體積體積相等的幾何體時，試求$\frac{PM}{MC}$的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)∠CBD=90°時，證明BC⊥平面PDB，即可證明：平面PBC⊥平面PDB；
（2）將四棱錐P-ABCD補成三棱柱PAD-GEC，設(shè)平面PAB∩平面PDC=l，平面PAEG∩PDCG=PG，AB∥PG，即可證明：AB∥l；
（3）利用平面MBD將四棱錐P-ABCD恰好分成兩個體積體積相等的幾何體，CD=2AB，設(shè)AB=x，則CD=2x，底面ABCD的高為h，設(shè)PD=a，利用體積關(guān)系，即可求$\frac{PM}{MC}$的值．

解答 （1）證明：∵∠CBD=90°，∴CB⊥BD
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，
∵BD∩PD=D，BD、PD?平面PDB，
∴BC⊥平面PDB，
又∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PDB．
（2）證明：如圖所示，將四棱錐P-ABCD補成三棱柱PAD-GEC，則$PG\underline{\underline{∥}}AE，PD\underline{\underline{∥}}GC$，
∴平面PAB即為平面PAEG，平面PDC即為平面PDCG，
∵平面PAB∩平面PDC=l，∴平面PAEG∩PDCG=PG，AB∥PG，∴AB∥l．
（3）解：∵平面MBD將四棱錐P-ABCD恰好分成兩個體積體積相等的幾何體，CD=2AB，
設(shè)AB=x，則CD=2x，底面ABCD的高為h，${S_{ABCD}}=\frac{1}{2}（x+2x）h=\frac{3}{2}xh，{S_{BCD}}=\frac{1}{2}•2x•h=xh$，
設(shè)PD=a，∴${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}•\frac{3}{2}xh•a=\frac{1}{2}xha$，∴${V_{P-BCD}}=\frac{1}{4}xha$
設(shè)$\frac{PM}{MC}=λ$，則${V_{P-BCD}}=\frac{1}{3}xh•\frac{1}{λ+1}a=\frac{1}{4}xha$，∴$λ=\frac{1}{3}$，$\frac{PM}{MC}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線面垂直、平面與平面垂直的判定，考查體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．