【題目】已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).
(1)求的取值范圍;
(2)試比較與的大小,并說(shuō)明理由;
(3)設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)為,證明.
【答案】(1);(2);理由見解析;(3)證明見解析
【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)可知方程有兩個(gè)不等正根,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個(gè)不同交點(diǎn);利用過(guò)一點(diǎn)曲線的切線的求解方法可求出過(guò)原點(diǎn)與相切的直線的斜率,從而可得,解不等式求得結(jié)果;(2)令,求導(dǎo)后可知在上單調(diào)遞減,從而可得,化簡(jiǎn)可得;(3)易知是方程的兩根,令,可整理得到,從而將所證不等式化為,采用換元的方式可知只需證,恒成立;構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)可知在上單調(diào)遞增,可得,進(jìn)而證得結(jié)論.
(1)由題意得:定義域?yàn)?/span>;
在上有兩個(gè)不同極值點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)不等正根
即:與在有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
設(shè)過(guò)的的切線與相切于點(diǎn)
則切線斜率,解得:
過(guò)的的切線的斜率為:
,解得:
即的取值范圍為:
(2)令,則
時(shí),;時(shí),
在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減
,即:
即:
(3)由(1)知,是方程的兩根
即:,
設(shè),則
原不等式等價(jià)于:
即:
設(shè),則,只需證:,
設(shè),
在上單調(diào)遞增
即在上恒成立
所證不等式成立
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司計(jì)劃投資A、B兩種金融產(chǎn)品,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè),A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資量的算術(shù)平方根成正比例,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資量成正比例,其關(guān)系如圖2(注:利潤(rùn)與投資量的單位:萬(wàn)元).
(1)分別將A、B兩產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資量的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該公司已有10萬(wàn)元資金,并全部投入A、B兩種產(chǎn)品中,問(wèn):怎樣分配這10萬(wàn)元投資,才能使公司獲得最大利潤(rùn)?其最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度)以[160,180)[180,200)[200,220)[220,240)[240,260)[260,280)[280,300)分組的頻率分布直方圖如圖所示:
(1)求直方圖中的值;
(2)用分層抽樣的方法從[260,280)和[280,300)這兩組用戶中確定6人做隨訪,再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人做問(wèn)卷調(diào)查,則這2人來(lái)自不同組的概率是多少?
(3)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線C的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)分別交于點(diǎn),求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了適應(yīng)高考改革,某中學(xué)推行“創(chuàng)新課堂”教學(xué)。高一平行甲班采用“傳統(tǒng)教學(xué)”的教學(xué)方式授課,高一平行乙班采用“創(chuàng)新課堂”的教學(xué)方式授課,為了比較教學(xué)效果,期中考試后,分別從兩個(gè)班中各隨機(jī)抽取名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,結(jié)果如下表:(記成績(jī)不低于分者為“成績(jī)優(yōu)秀”)
(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷是否有以上的把握認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”?
(2)現(xiàn)從上述樣本“成績(jī)不優(yōu)秀”的學(xué)生中,抽取3人進(jìn)行考核,記“成績(jī)不優(yōu)秀”的乙班人數(shù)為,求的分布列和期望.
參考公式
臨界值表
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,離心率為,過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),且的周長(zhǎng)為
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓分別交于兩點(diǎn),且,試問(wèn)點(diǎn)到直線的距離是否為定值,證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 如圖所示,在四邊形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1, CD=3,cos B=.
(1)求△ACD的面積;
(2)若BC=,求AB的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知命題p:k2﹣8k﹣20≤0,命題q:方程1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.
(1)命題q為真命題,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)若命題“p∨q”為真,命題“p∧q”為假,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.現(xiàn)以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求曲線的直角坐標(biāo)系方程和直線的普通方程;
(2)點(diǎn)在曲線上,且到直線的距離為,求符合條件的點(diǎn)的直角坐標(biāo).
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