Question

設(shè)F是拋物線G：x²=4y的焦點(diǎn)，設(shè)A、B為拋物線G上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足

FA

•

FB

=0，延長(zhǎng)AF、BF分別交拋物線G與C、D，求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由x²=4y可得焦點(diǎn)F（0，1），設(shè)AF的方程為y=kx+1，則BF的方程為y=-

1

k

x+1，（k≠0），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．聯(lián)立

y=kx+1 x2=4y

，化為x²-4kx-4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=4（1+k²），同理可得|CD|=4(1+

1

k2

)，四邊形ABCD面積S=

1

2

|AB|•|CD|=8(2+k2+

1

k2

)，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：由x²=4y可得焦點(diǎn)F（0，1），
設(shè)AF的方程為y=kx+1，則BF的方程為y=-

1

k

x+1，（k≠0），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=kx+1 x2=4y

，化為x²-4kx-4=0，可得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[16k2+16]

=4（1+k²），
同理可得|CD|=4(1+

1

k2

)，
∴四邊形ABCD面積S=

1

2

|AB|•|CD|=

1

2

×4(1+k2)×4(1+

1

k2

)
=8(2+k2+

1

k2

)≥8(2+2

k2• 1 k2

)=32．
當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)取等號(hào)．
∴四邊形ABCD面積的最小值為32．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)關(guān)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、四邊形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．