Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABED是矩形，四邊形ADGC是梯形，AD⊥平面DEFG，EF∥DG，∠EDG=120°．AB=AC=FE=1，DG=2．
（Ⅰ）求證：AE∥平面BFGC；
（Ⅱ）求證：FG⊥平面ADF．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面垂直的判定,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接CF，只要證明AE∥FC，利用線(xiàn)面平行的判定定理即可證明；
（Ⅱ）連接DF，AF，作DG的中點(diǎn)為H，連接EH，只要證明FG垂直DF，AD，利用線(xiàn)面垂直的判定定理．

解答： 證明：（Ⅰ）連接CF，
∵AC∥DG，EF∥DG，
∴AC∥EF又AC=EF，
∴四邊形AEFC是平行四邊形，
∴AE∥FC，
又AE?平面BFGC，F(xiàn)C?平面BFGC，
∴AE∥平面BFGC；

（Ⅱ）連接DF，AF，作DG的中點(diǎn)為H，連接EH，
∵EF∥DH，EF=DH=ED=1，
∴四邊形DEFH為菱形，
∵EF∥HG，EF=HG，
∴四邊形DEFH為平行四邊形，
∴FG∥EH，
∴FG⊥DF，
∵AD⊥平面DEFG，
∴AD⊥FG，
∵FG⊥DF，AD∩DF=D，
∴FG⊥面ADF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線(xiàn)面平行的判定定理以及線(xiàn)面垂直的判定定理的運(yùn)用；關(guān)鍵是將線(xiàn)面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系進(jìn)行證明．