已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為，直線l：y＝kx＋m交橢圓于不同的兩點A，B，

(1)求橢圓的方程，

(2)若坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值.

(1)設橢圓的半焦距為c，依題意，解得c＝.

由a2＝b2＋c2，得b＝1.

∴所求橢圓方程為＋y2＝1.

(2)由已知得＝，可得m2＝(k2＋1).

將y＝kx＋m代入橢圓方程，

整理得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0.

Δ＝(6km)2－4(1＋3k2)(3m2－3)>0(*)

∴x1＋x2＝，x1·x2＝.

∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)[－]

＝＝

＝3＋＝3＋≤3＋＝4(k≠0)，

當且僅當9k2＝，即k＝±時等號成立.

經(jīng)檢驗，k＝±滿足(*)式.

當k＝0時，|AB|＝.

綜上可知|AB|max＝2.

∴當|AB|最大時，△AOB的面積取最大值Smax＝×2×＝.

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個頂點為A(0,1)，離心率為，

過點B(0，－2)及左焦點F1的直線交橢圓于C，D兩點，右焦點設為F2.

(1)求橢圓的方程；

(2)求△CDF2的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（新課標1卷解析版） 題型：選擇題

已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點。若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為    (             )

A、＋＝1    B、＋＝1           

C、＋＝1    D、＋＝1

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年山東省濟寧市高三上學期期末模擬文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

設已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點是圓x2＋y2－6x＋8＝0的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點為(   )

A．(－3，0)          B．(－4，0)          C．(－10，0)         D．(－5，0)

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆江蘇省高二9月份質量檢測數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

（本題滿分14分）

已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左右頂點為，上下頂點為， 左右焦點為，若為等腰直角三角形（1）求橢圓的離心率（2）若的面積為6，求橢圓的方程

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆江西省高二第二次月考文科數(shù)學 題型：選擇題

已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，右頂點為A，點B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點P.若＝2，則橢圓的離心率是（　　）

Ａ．         Ｂ．              Ｃ.            Ｄ.

 

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