Question

4．已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$為兩平面向量，且|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=1，＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞=60°．
（1）若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-6$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，求證：A，B，D三點共線；
（2）若$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2λ$\overrightarrow{{e}_{\;}}$₂，$\overrightarrow$=λ$\overrightarrow{{e}_{\;}}$₁-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三點共線的條件判斷$\overrightarrow{BD}$∥$\overrightarrow{AB}$，即可．
（2）根據(jù)向量垂直的等價條件轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，解方程即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=1，＜$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$＞=60°．
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=|$\overrightarrow{{e}_{1}}$||$\overrightarrow{{e}_{1}}$|cos60°=1×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
（1）$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-6$\overrightarrow{{e}_{2}}$+3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$=5$\overrightarrow{{e}_{1}}$-5$\overrightarrow{{e}_{1}}$=5（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{1}}$）=5$\overrightarrow{AB}$，
則$\overrightarrow{BD}$∥$\overrightarrow{AB}$，
即A，B，D三點共線；
（2）若$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2λ$\overrightarrow{{e}_{\;}}$₂，$\overrightarrow$=λ$\overrightarrow{{e}_{\;}}$₁-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，即（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2λ$\overrightarrow{{e}_{\;}}$₂）•（λ$\overrightarrow{{e}_{\;}}$₁-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=0，
即λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$²-2λ$\overrightarrow{{e}_{\;}}$₂²+（2λ²-1）$\overrightarrow{{e}_{\;}}$₁•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=0
則λ-2λ+（2λ²-1）×$\frac{1}{2}$=0，
即2λ²-2λ-1=0，
則λ=$\frac{2±\sqrt{4+8}}{4}$=$\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1±\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應用，利用向量平行和向量垂直的向量公式進行轉(zhuǎn)化，建立方程是解決本題的關鍵．