Question

14．如圖，正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，E，F(xiàn)分別為SA，SD的中點．
（1）當SA=$\sqrt{5}$時，證明：平面BEF⊥平面SAD；
（2）若平面BEF與底面ABCD所成的角為$\frac{π}{3}$，求S-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）建立空間直角坐標系，證明$\overrightarrow{SG}•\overrightarrow{EF}=0$，$\overrightarrow{SG}•\overrightarrow{EB}=0$，可得SG⊥EF，SG⊥EB，即可證明SG⊥平面BEF，從而證明平面BEF⊥平面SAD；
（2）利用向量法求出四棱錐的高，利用四棱錐的體積公式，求出S-ABCD的體積．

解答 （1）證明：連接AC交BD于點O，分別以OA，OB，OS為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．
因為$SA=\sqrt{5}$，所以$OS=\sqrt{3}$，則$S（0，0，\sqrt{3}）$，$A（\sqrt{2}，0，0），D（0，-\sqrt{2}，0），B（0，\sqrt{2}，0）$，$E（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}），F(xiàn)（0，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
設G是AD的中點，則$G（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）$，$\overrightarrow{SG}=（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{EF}=（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）$，$\overrightarrow{EB}=（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
因為$\overrightarrow{SG}•\overrightarrow{EF}=0$，$\overrightarrow{SG}•\overrightarrow{EB}=0$，所以SG⊥EF，SG⊥EB，
因為EF?平面BEF，EB?平面BEF，所以SG⊥平面BEF，
又SG?平面SAD，所以平面BEF⊥平面SAD．-------------（6分）
（2）解：設OS=h，則S（0，0，h），$E（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，\frac{h}{2}），F(xiàn)（0，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{h}{2}）$，
則$\overrightarrow{EF}=（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0），\overrightarrow{EB}=（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{2}，-\frac{h}{2}）$，設平面BEF的法向量為$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$，
則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{EB}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x-\frac{{\sqrt{2}}}{2}y=0}\\{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+\sqrt{2}y-\frac{hz}{2}=0}\end{array}}\right.$，令x=1，則$y=-1，z=-\frac{{3\sqrt{2}}}{h}$．
所以$\overrightarrow{n_1}=（1，-1，-\frac{{3\sqrt{2}}}{h}）$，取平面ABCD的法向量為$\overrightarrow{n_2}=（0，0，1）$，
則根據(jù)題意可得$cos{60°}=|\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}}|$，即$\frac{1}{2}=\frac{{\frac{{3\sqrt{2}}}{h}}}{{\sqrt{2+\frac{18}{h^2}}}}$，解得$h=3\sqrt{3}$，
所以${V_{S-ABCD}}=\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×4=4\sqrt{3}$．-----------（12分）

點評 本題考查線面、平面與平面垂直的判定，考查四棱錐體積的計算，考查向量法的運用，正確運用向量方法是關鍵．