Question

19．非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與向量$\overrightarrow a$的夾角為$\frac{π}{6}$，向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與向量$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{4}$則$\frac{|\overrightarrow a|}{|\overrightarrow b|}$等于$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出?ABCD，設(shè)$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow$，根據(jù)平行四邊形法則求出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，由題意求出∠DAC、∠CAB和∠ACD，利用正弦定理求出$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}$的值．

解答 解：由題意畫出?ABCD，設(shè)$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow$，則$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=$\overrightarrow{AC}$，
∵向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與向量$\overrightarrow a$的夾角為$\frac{π}{4}$，向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與向量$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{4}$，
∴∠DAC=$\frac{π}{4}$，∠CAB=$\frac{π}{6}$，則∠ACD=$\frac{π}{6}$，
在△ADC中，由正弦定理得$\frac{CD}{sin∠DAC}=\frac{AD}{sin∠ACD}$，
∴$\frac{CD}{AD}=\frac{sin∠DAC}{sin∠ACD}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，則$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查向量的加法法則，以及其幾何意義，以及正弦定理的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想．