Question

9．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=t+4\end{array}$（t為參數(shù)），在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{1+2{{cos}^2}θ}}}$．
（1）寫出直線l一般式方程與曲線C的直角坐標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離為d，求d的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=t+4\end{array}$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得直角坐標(biāo)方程．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{1+2{{cos}^2}θ}}}$即ρ²（1+2cos²θ）=3，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)P$（cosα，\sqrt{3}sinα）$，則d=$\frac{2sin（\frac{π}{6}-α）+3}{\sqrt{2}}$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出最值．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=t+4\end{array}$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得直角坐標(biāo)方程：x-y+3=0．
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{1+2{{cos}^2}θ}}}$即ρ²（1+2cos²θ）=3，可得直角坐標(biāo)方程：3x²+y²=3，化為標(biāo)準(zhǔn)方程：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）設(shè)P$（cosα，\sqrt{3}sinα）$，則d=$\frac{|cosα-\sqrt{3}sinα+3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{2sin（\frac{π}{6}-α）+3}{\sqrt{2}}$，
可得d_min=$\frac{3-2}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，d_max=$\frac{2+3}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
∴d的取值范圍是$[\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{5\sqrt{2}}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、三角函數(shù)的單調(diào)性和值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．