Question

11．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁C⊥AB，側面BCC₁B₁為菱形．
（1）求證：平面ABC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）如果點D，E分別為A₁C₁，BB₁的中點，求證：DE∥平面ABC₁．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ABC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）根據(jù)線面平行的判定定理進行證明即可．

解答 解：（1）因三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面BCC₁B₁為菱形，
故B₁C⊥BC₁．…2分
又B₁C⊥AB，且AB，BC₁為平面ABC₁內的兩條相交直線，
故B₁C⊥平面ABC₁．…5分
因B₁C?平面BCC₁B₁，
故平面ABC₁⊥平面BCC₁B₁．…7分
（2）如圖，取AA₁的中點F，連DF，F(xiàn)E．
又D為A₁C₁的中點，故DF∥AC₁，EF∥AB．
因DF?平面ABC₁，AC₁?平面ABC₁，
故DF∥面ABC₁．…10分
同理，EF∥面ABC₁．
因DF，EF為平面DEF內的兩條相交直線，
故平面DEF∥面ABC₁．…12分
因DE?平面DEF，
故DE∥面ABC₁．…14分．

點評 本題主要考查空間直線和平面平行以及面面垂直的判定，利用相應的判定定理是解決本題的關鍵．