Question

20．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{a{x}^{2}-1}$（a＞0）的圖象很像網(wǎng)絡(luò)流行的“囧”字的內(nèi)部，我們不妨把它稱為“囧函數(shù)”，現(xiàn)有以下命題，其中正確的是①③．（寫出所有正確結(jié)論的序號）
①f（x）的圖象不關(guān)于原點對稱
②f（x）的最小值為-1
③對于定義域內(nèi)任意兩正數(shù)m、n，若m＜n．則f（m）＞f（n）
④f（x）的導函數(shù)f′（x）有零點
⑤對于（-$\frac{\sqrt{a}}{a}$，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）上的任意實數(shù)m，n，恒有$\frac{f（m）+f（n）}{2}$≥f（$\frac{m+n}{2}$）

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\frac{1}{a{x}^{2}-1}$（a＞0），定義域為{x|$x≠±\frac{\sqrt{a}}{a}$}，f′（x）=$\frac{-2ax}{（a{x}^{2}-1）^{2}}$．利用導數(shù)研究其單調(diào)性，畫出圖象，再利用其奇偶性等即可判斷出正誤．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{a{x}^{2}-1}$（a＞0），定義域為{x|$x≠±\frac{\sqrt{a}}{a}$}，f′（x）=$\frac{-2ax}{（a{x}^{2}-1）^{2}}$．
當x＞$\frac{\sqrt{a}}{a}$時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當0＜x＜$\frac{\sqrt{a}}{a}$時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當-$\frac{\sqrt{a}}{a}$＜x＜0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當x＜-$\frac{\sqrt{a}}{a}$時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．畫出圖象：
①由f（-x）=f（x）$（x≠±\frac{\sqrt{2}}{2}）$，可知：f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，不關(guān)于原點對稱，正確；
②由圖象可得：f（x）無最小值，因此不正確；
③對于定義域內(nèi)任意兩正數(shù)m、n，若取m=$\frac{1}{2}$，n=1，則f（m）＜f（n），因此不正確；
④令f′（x）=0，解得x=0，因此f（x）的導函數(shù)f′（x）有零點，正確；
⑤對于（-$\frac{\sqrt{a}}{a}$，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）上的任意實數(shù)m，n，恒有$\frac{f（m）+f（n）}{2}$≤f（$\frac{m+n}{2}$），因此不正確．
綜上可得：只有①③正確．
故答案為：①③．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值及其性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題．