Question

已知數(shù)列{a_n}與{b_n}，若a₁=3且對任意正整數(shù)n滿足a_n+1-a_n=2，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

1

b nbn+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知可得數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求a_n；把a(bǔ)_n代入S_n=n²+a_n．利用S_n-S_n-1=b_n（n≥2）求通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）首先求出T₁，當(dāng)n≥2時(shí)，由裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{

1

b nbn+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，
又∵a₁=3，∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+a_n=n²+2n+1=（n+1）²
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=4；
當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1=(n2+2n+1)-[(n-1)2+2(n-1)+1]=2n+1．
上式對b₁=4不成立．
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式：bn=

4，(n=1) 2n+1，(n≥2)

；
（Ⅱ）n=1時(shí)，T1=

1

b1b2

=

1

20

；
n≥2時(shí)，

1

bnbn+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
∴Tn=

1

20

+

1

2

(

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

1

20

+

n-1

10n+15

=

6n-1

20(2n+3)

．
n=1仍然適合上式．
綜上，Tn=

1

20

+

n-1

10n+15

=

6n-1

20(2n+3)

．

點(diǎn)評：本題考查了求數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，是中檔題．