Question

（本小題滿分14分）
已知函數
(Ⅰ)請研究函數的單調性；
(Ⅱ)若函數有兩個零點，求實數的取值范圍；
(Ⅲ)若定義在區(qū)間D上的函數對于區(qū)間D上的任意兩個值x₁、x₂總有以下不等式成立，則稱函數為區(qū)間D上的“凹函數”.若函
數的最小值為，試判斷函數是否為“凹函數”，并對你的判斷加以證明.

Answer 1

解：(Ⅰ)的定義域為，.
當時，為增函數；
當時，在區(qū)間上是增函數，在區(qū)間上是減函數.
(Ⅱ)因為函數有兩個零點，所以由（1）知.此時方程有兩個實數根，當時，有
，令，則由，
于是，在上遞減，且；在上遞減，且；
在上遞增，且.所以，，
于是，實數的取值范圍是.
另解：因為函數有兩個零點，所以由（1）知，且為極小值，根據圖像，只需要即可.
(Ⅲ)由（1）知，，其中.
對于任意的，因為

 
=>0，所以.
因此，函數在其定義域 內是 “凹函數”.

略