已知點P為橢圓C：
x2
4
+
y2
b2
=1 （b＞0）上的動點，且|OP|的最小值為1，其中O為坐標原點，則b=
1
1
．
分析：根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，設P（2cosα，bsinα），可得|OP|2=
1
2
（b2+4）+（2-
1
2
b2）cos2α．因為|OP|的最小值為1，所以
1
2
（b2+4）-|2-
1
2
b2|=1，再加以討論即可解出b的值為1．
解答：解：∵點P為橢圓C：
x2
4
+
y2
b2
=1 （b＞0）上的動點，
∴設P（2cosα，bsinα），可得
|OP|2=4cos2α+b2sin2α=
1
2
（b2+4）+（2-
1
2
b2）cos2α
∵|OP|的最小值為1，得|OP|2的最小值也為1
∴
1
2
（b2+4）-|2-
1
2
b2|=1
當b2≥4時，方程化為
1
2
（b2+4）-（
1
2
b2-2）=1得4=1，無實數(shù)解；
當b2＜4時，
1
2
（b2+4）-（2-
1
2
b2）=1，即b2=1，解之得b=1
綜上所述，所求b的值為1
故答案為：1
點評：本題給出橢圓上的動點P到原點的距離最小值為1，求參數(shù)b的值．著重考查了橢圓的標準方程和簡單幾何性質(zhì)、曲線上的點到原點最短距離求法等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知點P為橢圓
x2
25
+
y2
9
=1在第一象限內(nèi)的任意一點，過橢圓的右頂點A和上頂點B分別作與y軸和x軸的平行線交于C，過P引BC、AC的平行線交AC于N，交BC于M，交AB于D、E，矩形PMCN的面積是S1，三角形PDE的面積是S2，則S1：S2=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的中心為原點O，點F（1，0）是它的一個焦點，直線l過點F與橢圓C交于A，B兩點，當直線l垂直于x軸時，
OA
•
OB
=
1
2

（I）求橢圓C的方程；
（II）已知點P為橢圓的上頂點，且存在實數(shù)t使
PA
+
PB
=t
PF
成立，求實數(shù)t的值和直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P在橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點，滿足|PF1|=6-|PF2|，且橢圓C的離心率為
5
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點Q（1，0）且不與x軸垂直的直線l與橢圓C相交于兩個不同點M、N，在x軸上是否存在定點G，使得
GM
•
GN
為定值．若存在，求出所有滿足這種條件的點G的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的中心為原點O，點F2（1，0）是它的一個焦點，直線l過點F2與橢圓C交于A，B兩點，當直線l垂直于x軸時，△OAB的面積S△OAB=
2
2

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點P在橢圓C上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•鷹潭一模）已知點P是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的點，橢圓短軸長為2，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，|OP|=
10
2
，
PF1
•
PF2
=
1
2
（點O為坐標原點）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程及離心率；
（Ⅱ）直線y=x與橢圓C在第一象限交于A點，若橢圓C上兩點M、N使
OM
+
ON
=λ
OA
，λ∈（0，2）求△OMN面積的最大值．

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