Question

【題目】已知在幾何體中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，且平面，，且，與平面所成角的正切值為.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：(1) 取的中點(diǎn)，連接，,結(jié)合已知條件證得平面，由勾股定理得，利用定理證得結(jié)果以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量為，求平面的法向量為，運(yùn)用公式求出結(jié)果

解析：（1）取的中點(diǎn)，連接，，

∵平面，，

∴在平面內(nèi)的射影為，

∵，又，∴，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

∴為與平面所成的角.

∵，

∴，，

∴，設(shè)，連接，.

∵，，，

∴平面，

∵平面，∴.

∵，，.

∴，

∴，又，

∴平面.

又∵平面.∴平面平面.

（2）∵，，兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，

則，，，

設(shè)平面的法向量為，

則即取，

得.

設(shè)平面的法向量為，

即

取，得.

設(shè)二面角的平面角為，

∵

，

∴，即二面角的大小為.