Question

若函數(shù)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，且f（x-2）=-f（x），給出下列結(jié)論：①f（2）=0；②f（x）以4為周期；③f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；④f（x+2）=f（-x）．
這些結(jié)論中正確的有______．（必須填寫序號(hào)）

Answer 1

解：函數(shù)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，故有f（0）=0，
又f（x-2）=-f（x），故有f（x）=-f（x+2），由此得f（x+2）=f（x-2）故函數(shù)的周期為4
在f（x）=-f（x+2）中令x=0得，在f（0）=-f（2）=0可得 f（2）=0
又f（x）=-f（x+2）可變?yōu)閒（x+2）=-f（x）由函數(shù)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)可得f（x+2）=f（-x）．
又奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱而非關(guān)于Y軸對(duì)稱，故四個(gè)結(jié)論中正確的有①②④
故答案為①②④
分析：由題意，可先研究函數(shù)的 性質(zhì)，再由函數(shù)的性質(zhì)對(duì)四個(gè)命題①f（2）=0；②f（x）以4為周期；③f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；④f（x+2）=f（-x）真假，得出正確命題的序號(hào)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與函數(shù)的周期性，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的奇函數(shù)的性質(zhì)以及理解恒等式f（x-2）=-f（x），從而得出函數(shù)的周期，本題考查函數(shù)的基礎(chǔ)概念，是近幾年高考中常考的一種題型，一般出現(xiàn)在填空題的位置要注意探究此問(wèn)題的解法規(guī)律