Question

已知函數(shù)f（x）=sin

x

2

+

3

cos

x

2

，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換可以得到函數(shù)f（x）的圖象．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和的正弦公式化簡f（x），求出f（x）的最小正周期T以及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）平移函數(shù)y=sinx的圖象，得到函數(shù)y=sin（x+

π

3

）的圖象，再得函數(shù)y=sin（

x

2

+

π

3

）的圖象，然后得函數(shù)y=2sin（

x

2

+

π

3

）的圖象．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin

x

2

+

3

cos

x

2

=2sin（

x

2

+

π

3

），x∈R；
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π；
令z=

x

2

+

π

3

，函數(shù)y=sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，（k∈Z）；
由-

π

2

+2kπ≤

x

2

+

π

3

≤

π

2

+2kπ，
得-

5π

3

+4kπ≤x≤

π

3

+4kπ，k∈Z；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

5π

3

+4kπ，

π

3

+4π]，（k∈Z）；
（2）把函數(shù)y=sinx圖象向左平移

π

3

個單位，得到函數(shù)y=sin（x+

π

3

）的圖象；
再把函數(shù)y=sin（x+

π

3

）的圖象上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=sin（

x

2

+

π

3

）的圖象；
然后再把每個點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=2sin（

x

2

+

π

3

）的圖象．

點評：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角恒等變換問題和三角函數(shù)的圖象平移問題，是中檔題．