Question

（2x+4）²⁰¹²=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₂x²⁰¹²，則a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₁₂被3除的余數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：分別給二項(xiàng)式中的x賦值1，-1，兩式相加求出a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₀，將2²⁰⁰⁹寫成（3-1）²⁰⁰⁹，利用二項(xiàng)式定理求出其展開式，由展開式的形式判斷出被3除的余數(shù)．

解答： 解：令x=1得6²⁰¹⁰=a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₀，
令x=-1得2²⁰¹⁰=a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₂₀₁₀，
兩式相加得a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₁₀=

1

2

(62010+22010)=2²⁰⁰⁹•3²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹，
∵2²⁰⁰⁹=（3-1）²⁰⁰⁹=C₂₀₀₉⁰3²⁰⁰⁹+C₂₀₀₉¹3²⁰⁰⁸（-1）+…+C₂₀₀₉²⁰⁰⁸3¹（-1）²⁰⁰⁸+C₂₀₀₉²⁰⁰⁹（-1）²⁰⁰⁹，
∴2²⁰⁰⁹被3除的余數(shù)的是2，
∴2²⁰⁰⁹•3²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹被3除的余數(shù)是2，
即a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₀被3除的余數(shù)是2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查通過賦值法求展開式的系數(shù)和、利用二項(xiàng)式定理的展開式求余數(shù)問題．