Question

11．已知函數(shù)f（x）=e^x[$\frac{1}{3}$x³-2x²+（a+4）x-2a-4]，其中a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線與直線x+y=0垂直，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式f（x）＜-$\frac{4}{3}$e^x在（-∞，2）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）討論函數(shù)f（x）極值點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，解方程可得a的值；
（2）由題意可得$\frac{1}{3}$x³-2x²+4x-$\frac{8}{3}$＜a（x-2），令x-2=t（t＜0），運用參數(shù)分離和構(gòu)造g（t），求得單調(diào)性，可得a的范圍；
（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令h（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a，由h（x）=0，即為a（x-1）=x²-$\frac{1}{3}$x³，運用參數(shù)分離，求得令m=x-1，可得h（m）=$\frac{（m+1）^{2}-\frac{1}{3}（m+1）^{3}}{m}$，求得h（m）的單調(diào)區(qū)間，可得a的范圍，即有f（x）的極值點的個數(shù)．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x[$\frac{1}{3}$x³-2x²+（a+4）x-2a-4]的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=e^x•（$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a），
圖象在x=0處的切線斜率為-a，
切線與直線x+y=0垂直，可得-a=1，
解得a=-1；
（2）關(guān)于x的不等式f（x）＜-$\frac{4}{3}$e^x在（-∞，2）上恒成立，
即為$\frac{1}{3}$x³-2x²+（a+4）x-2a-$\frac{8}{3}$＜0在x＜2恒成立．
即有$\frac{1}{3}$x³-2x²+4x-$\frac{8}{3}$＜a（2-x），
令x-2=t（t＜0），可得-a＜$\frac{\frac{1}{3}（t+2）^{3}-2（t+2）^{2}+4（t+2）-\frac{8}{3}}{t}$，
令g（t）=$\frac{\frac{1}{3}（t+2）^{3}-2（t+2）^{2}+4（t+2）-\frac{8}{3}}{t}$，t＜0，
g′（t）=$\frac{2[（t+2）^{2}（t+1）-3（{t}^{2}-4）-8]}{3{t}^{2}}$=$\frac{2t}{3}$＜0，
即g（t）在t＜0遞減，可得g（t）＞0，
可得-a≤0，即a的取值范圍是[0，+∞）；
（3）由f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x•（$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a），
令h（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a，由h（x）=0，
即為a（x-1）=x²-$\frac{1}{3}$x³，
若x=1時，方程不成立；
若x≠1時，a=$\frac{{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}}{x-1}$，
令m=x-1，可得h（m）=$\frac{（m+1）^{2}-\frac{1}{3}（m+1）^{3}}{m}$
=$\frac{（2-m）（m+1）^{2}}{3m}$=$\frac{2-{m}^{3}+3m}{3m}$，
h′（m）=$\frac{-2-2{m}^{3}}{3{m}^{2}}$，
當(dāng)m＞0即x＞1時，h（m）遞減，m＜-1時，h（m）遞增，
-1＜m＜0時，h（m）遞減．
則當(dāng)a＞0時，a=h（m）有一個解，f（x）有一個極值點；
當(dāng)a＜0時，a=h（m）有三個解，f（x）有三個極值點．
綜上可得，a=0時，f（x）有一個極值點；
a＞0時，f（x）有一個極值點；
a＜0時，f（x）有三個極值點．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，注意運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩直線垂直的條件，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法，考查函數(shù)的極值點的個數(shù)，注意運用分類討論的思想方法，屬于中檔題．