Question

已知向量

a

=（cosx，-2），

b

=（1，cos

x

2

），f（x）=

a

•

b

，角A，B，C分別為△ABC的三個內(nèi)角．
（Ⅰ）當A=A₀時，f（A）取最小值f（A₀），試求A₀與f（A₀）；
（Ⅱ）當A=A₀，且△ABC的面積為

3

2

時，求邊長BC的最小值．

Answer 1

考點：余弦定理的應用,平面向量數(shù)量積的運算,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：綜合題,解三角形

分析：（Ⅰ）通過向量的數(shù)量積以及配方法，即可求A₀與f（A₀）；
（Ⅱ）由題意，

1

2

bcsin

2π

3

=

3

2

，可得bc=2，再利用余弦定理、基本不等式，即可求邊長BC的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=（cosx，-2），

b

=（1，cos

x

2

），f（x）=

a

•

b

，
∴f（x）=cosx-2cos

x

2

，
∴f（A）=cosA-2cos

A

2

=2（cos

A

2

-

1

2

）²-

3

2

…（3分）
∵0＜A＜π，∴0＜

A

2

＜

π

2

，0＜cos

A

2

＜1
∴cos

A

2

=

1

2

，即A=A₀=

2π

3

時，f（A）取最小值f（A₀）=-

3

2

…（7分）
（Ⅱ） 由題意，

1

2

bcsin

2π

3

=

3

2

，∴bc=2
∴a=

b2+c2+bc

≥

3bc

=

6

，“等號”當且僅當“b=c=

2

”時成立
∴BC邊長的最小值為

6

…（12分）

點評：本題通過向量的數(shù)量積，考查三角函數(shù)的基本公式的應用，余弦定理的應用，考查計算能力，好題，�？碱}型．