Question

已知函數(shù)f（x）=sinx+acosx的圖象關(guān)于直線x=

π

6

對(duì)稱，且方程f（x）=m在[0，

π

2

）上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m取值范圍是（　�。�

• A、[0，1]
• B、[1，2]
• C、[

  3

  ，2）
• D、[1，

  3

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由題意可得可得±

1+a2

=sin

π

6

+acos

π

6

，求得a的值，可得f（x）=2sin（x+

π

3

）．再根據(jù)函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=m在[0，

π

2

）上有兩個(gè)交點(diǎn)，求得m的范圍．

解答： 解：由函數(shù)f（x）=sinx+acosx的圖象關(guān)于直線x=

π

6

對(duì)稱，可得x=

π

6

時(shí)，函數(shù)取得最大值或最小值，
故有±

1+a2

=sin

π

6

+acos

π

6

，求得 a=

3

，
∴f（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

）．
在[0，

π

2

）上，x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

），f（x）∈（1，2]．
再根據(jù)方程f（x）=m在[0，

π

2

）上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可得函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=m在[0，

π

2

）上有兩個(gè)交點(diǎn)，
故

3

≤m＜2，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，兩角和的正弦公式，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，屬于基礎(chǔ)題．