Question

已知函數f（x）=2x²-3x+1，g（x）=Asin（x-

π

6

）（A≠0）．
（1）當0≤x≤

π

2

時，求y=f（sinx）的最大值；
（2）問a取何值時，方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π）上有兩解？

Answer 1

考點：正弦函數的定義域和值域,根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質

分析：（1）用換元法，設t=sinx，x∈[0，

π

2

]，化為求關于t的函數在閉區(qū)間上的最大值即可；
（2）用換元法，設t=sinx，化為t∈[-1，1]上討論方程2t²-2t+1=a解的情況，從而求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵y=f（sinx）=2sin²x-3sinx+1，
設t=sinx，x∈[0，

π

2

]，則0≤t≤1；
∴y=2(t2-

3

2

t)+1=2(t-

3

4

)2-

1

8

，
∴當t=0時，y取得最大值y_max=1；…（6分）
（2）方程2sin²x-3sinx+1=a-sinx化為
2sin²x-2sinx+1=a，
該方程在[0，2π]上有兩解，
設t=sinx，則方程2t²-2t+1=a在[-1，1]上解的情況如下：
①當在（-1，1）上只有一個解或相等解，x有兩解，
（5-a）（1-a）＜0或△=0；
∴a∈（1，5）或a=

1

2

；
②當t=-1時，x有惟一解x=

3

2

π，
③當t=1時，x有惟一解x=

π

2

，
綜上，當a∈（1，5）或a=

1

2

時，方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π）上有兩解．…（16分）

點評：本題考查了函數的性質與應用問題，解題時應利用換元法，把三角函數化為研究普通函數在某一區(qū)間上的性質問題，是中檔題．