Question

已知函數(shù)f（x）=2x²-3x+1，g（x）=Asin（x-

π

6

）（A≠0）．
（1）當(dāng)0≤x≤

π

2

時(shí)，求y=f（sinx）的最大值；
（2）問(wèn)a取何值時(shí)，方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π）上有兩解？

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的定義域和值域,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）用換元法，設(shè)t=sinx，x∈[0，

π

2

]，化為求關(guān)于t的函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值即可；
（2）用換元法，設(shè)t=sinx，化為t∈[-1，1]上討論方程2t²-2t+1=a解的情況，從而求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵y=f（sinx）=2sin²x-3sinx+1，
設(shè)t=sinx，x∈[0，

π

2

]，則0≤t≤1；
∴y=2(t2-

3

2

t)+1=2(t-

3

4

)2-

1

8

，
∴當(dāng)t=0時(shí)，y取得最大值y_max=1；…（6分）
（2）方程2sin²x-3sinx+1=a-sinx化為
2sin²x-2sinx+1=a，
該方程在[0，2π]上有兩解，
設(shè)t=sinx，則方程2t²-2t+1=a在[-1，1]上解的情況如下：
①當(dāng)在（-1，1）上只有一個(gè)解或相等解，x有兩解，
（5-a）（1-a）＜0或△=0；
∴a∈（1，5）或a=

1

2

；
②當(dāng)t=-1時(shí)，x有惟一解x=

3

2

π，
③當(dāng)t=1時(shí)，x有惟一解x=

π

2

，
綜上，當(dāng)a∈（1，5）或a=

1

2

時(shí)，方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π）上有兩解．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)利用換元法，把三角函數(shù)化為研究普通函數(shù)在某一區(qū)間上的性質(zhì)問(wèn)題，是中檔題．