Question

如圖，C，D兩點在△PAB的邊AB上，AC=BD，若∠CPD=90°，且PA²+PB²=10，則2AB+CD的最大值為

 

．

Answer 1

考點：向量在幾何中的應(yīng)用,向量加減混合運算及其幾何意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，以CD的中點為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)C（-a，0），D（a，0），B（a+b，0），A（-a-b，0），P（x，y）．
由∠CPD=90°，利用圓的方程可得x²+y²=a²．由PA²+PB²=10，利用兩點之間的距離公式可得（x+a+b）²+y²+（x-a-b）²+y²=10，
化為（a+b）²+a²=5．再利用數(shù)量積的性質(zhì)可得2AB+CD=2（2a+2b）+2a=4（a+b）+2a≤

(a+b)2+a2

•

42+22

即可得出．

解答： 解：如圖所示，以CD的中點為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)C（-a，0），D（a，0），B（a+b，0），A（-a-b，0），P（x，y）．
∵∠CPD=90°，∴x²+y²=a²．
∵PA²+PB²=10，∴（x+a+b）²+y²+（x-a-b）²+y²=10，
化為（a+b）²+a²=5．
∴2AB+CD=2（2a+2b）+2a=4（a+b）+2a≤

(a+b)2+a2

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42+22

=10，
當(dāng)且僅當(dāng)向量（4，2）與向量（a+b，a）共線時取等號．
∴2AB+CD的最大值為10．
故答案為：10．

點評：本題考查了兩點之間的距離公式、數(shù)量積的性質(zhì)、圓的方程等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．