Question

【題目】如圖，在四棱錐P一ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD, AB⊥BC, AD//BC, AD=3,PA=BC=2AB=2,

PB＝．

(Ⅰ)求證：BC⊥PB;

(Ⅱ)求二面角P一CD一A的余弦值；

(Ⅲ)若點E在棱PA上，且BE//平面PCD，求線段BE的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) ;(3) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，證得⊥平面，進而證得所以⊥；

（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，得到向量的坐標(biāo)，再得到平面的一個法向量為，利用向量的夾角公式，即可得到二面角的余弦值；

（Ⅲ）由點在棱，所以，得到所以， ，

再根據(jù)與平面的法向量的數(shù)量積等于零，即可求解的值．

試題解析：

（Ⅰ）證明：因為平面⊥平面，

且平面平面，

因為⊥，且平面

所以⊥平面．

因為平面，

所以⊥．

（Ⅱ）解：在△中，因為， ， ，

所以，所以⊥．

所以，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．

所以， ， ，

， ，

， ．

易知平面的一個法向量為．

設(shè)平面的一個法向量為，

則， 即，

令，則．

設(shè)二面角的平面角為，可知為銳角，

則，

即二面角的余弦值為．

（Ⅲ）解：因為點在棱，所以， ．

因為，

所以， ．

又因為平面， 為平面的一個法向量，

所以，即，所以．

所以，所以．