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【題目】已知點在橢圓： 上， 是橢圓的一個焦點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）橢圓C上不與點重合的兩點， 關于原點O對稱，直線， 分別交軸于， 兩點．求證：以為直徑的圓被直線截得的弦長是定值．

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）見解析．

【解析】試題分析：（Ⅰ）依題意，得到，利用定義得到，即可求解橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設， ，根據直線方程，求解的坐標，可得，利用 ，求得的值，即可得到弦長為定值．

試題解析：

（Ⅰ）依題意，橢圓的另一個焦點為，且．

因為，

所以， ，

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）證明：由題意可知， 兩點與點不重合．

因為， 兩點關于原點對稱，

所以設， ， ．

設以為直徑的圓與直線交于兩點，

所以．

直線： ．

當時， ，所以．

直線： ．

當時， ，所以．

所以， ，

因為，所以，

所以．

因為，即， ，

所以，所以．

所以， ， 所以．

所以以為直徑的圓被直線截得的弦長是定值．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐中，平面⊥平面， ， ， ．

（Ⅰ）求證： ⊥平面；

（Ⅱ）求證： ⊥；

（Ⅲ）若點在棱上，且平面，求的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知，且不等式對任意的恒成立.

(Ⅰ) 求與的關系；

(Ⅱ) 若數列滿足：，，為數列的前項和.求證：；

(Ⅲ) 若在數列中，，為數列的前項和.求證：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）=2sin2x-2sin2x-a．

①若f（x）=0在x∈R上有解，則a的取值范圍是______；

②若x1，x2是函數y=f（x）在[0，]內的兩個零點，則sin（x1+x2）=______

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P一ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD, AB⊥BC, AD//BC, AD=3,PA=BC=2AB=2,

PB＝．

(Ⅰ)求證：BC⊥PB;

(Ⅱ)求二面角P一CD一A的余弦值；

(Ⅲ)若點E在棱PA上，且BE//平面PCD，求線段BE的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

(1)求的最小正周期;

(2)當時,

(ⅰ)求函數的單調遞減區(qū)間;

(ⅱ)求函數的最大值最小值,并分別求出使該函數取得最大值最小值時的自變量的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知點在橢圓： 上， 是橢圓的一個焦點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）橢圓C上不與點重合的兩點， 關于原點O對稱，直線， 分別交軸于， 兩點．求證：以為直徑的圓被直線截得的弦長是定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=4．

（Ⅰ）過原點O（0，0）作圓C的切線，切點分別為H、K，求直線HK的方程；

（Ⅱ）設定點M（-3，8），動點N在圓C上運動，以CM，CN為領邊作平行四邊形MCNP，求點P的軌跡方程；

（Ⅲ）平面上有兩點A（1，0），B（-1，0），點P是圓C上的動點，求|AP|2+|BP|2的最小值；

（Ⅳ）若Q是x軸上的動點，QR，QS分別切圓C于R，S兩點．試問：直線RS是否恒過定點？若是，求出定點坐標，若不是，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知集合是集合 的一個含有個元素的子集.

（Ⅰ）當時,

設

（i）寫出方程的解；

（ii）若方程至少有三組不同的解,寫出的所有可能取值.

（Ⅱ）證明:對任意一個,存在正整數使得方程 至少有三組不同的解.

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