Question

【題目】已知點，動點， 分別在軸， 軸上運動， ， 為平面上一點， ，過點作平行于軸交的延長線于點.

（Ⅰ）求點的軌跡曲線的方程；

（Ⅱ）過點作軸的垂線，平行于軸的兩條直線， 分別交曲線于， 兩點（直線不過），交于， 兩點.若線段中點的軌跡方程為，求與的面積之比.

Answer 1

【答案】（1）;（2）2.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可得為， 的中點，設，則， 分別為， ,結合可得點的軌跡方程；（Ⅱ）設直線與軸的交點，設， ， ， 中點為， 當當與軸不垂直時，由可得，當與軸垂直時也適合方程，由題意得即為的準線，結合面積公式即可.

試題解析：（Ⅰ）設，由為， 的中點可得為， 的中點，則， 分別為， ,， 可得點的軌跡方程為：

（Ⅱ）設直線與軸的交點，設，

設， 中點為，

當與軸不垂直時，由可得

而，則 即，即

當與軸垂直時， ， 中點與重合，適合方程.

由為， 的中點，可知過點作軸的垂線即為的準線，

，

與的面積之比為2.