Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{15}}{4}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上任意一點，且△PF₁F₂的周長是8+2$\sqrt{15}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)圓T：（x-2）²+y²=$\frac{4}{9}$，過橢圓的上頂點M作圓T的兩條切線交橢圓于E、F兩點，求直線EF的斜率．

Answer 1

分析 （1）由橢圓離心率得到a，c的關(guān)系，再由△PF₁F₂的周長，得a，c的另一關(guān)系，聯(lián)立求得a，c的值，代入隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）橢圓的上頂點為M（0，1），設(shè)過點M與圓T相切的直線方程為y=kx+1，由直線y=kx+1與圓T相切可知$\frac{|2k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2}{3}$，即32k²+36k+5=0，由根與系數(shù)關(guān)系得到k₁+k₂=-$\frac{9}{8}$，k₁k₂=$\frac{5}{32}$，再聯(lián)立一切線方程和橢圓方程，求得E的坐標(biāo)，同理求得F坐標(biāo)，利用斜率公式得到k_EF．

解答 解：（Ⅰ）由題意，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$，可知a=4b，c=$\sqrt{15}$b，
∵△PF₁F₂的周長是8+2$\sqrt{15}$，∴2a+2c=8+2$\sqrt{15}$，
∴a=4，b=1，
∴所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+y²=1   …（4分）
（Ⅱ）橢圓的上頂點為M（0，1），由題知過點M與圓T相切的直線有斜率，
則設(shè)其方程為l：y=kx+1，由直線y=kx+1與圓T相切可知$\frac{|2k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2}{3}$，
即32k²+36k+5=0，∴k₁+k₂=-$\frac{9}{8}$，k₁k₂=$\frac{5}{32}$，…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+16k₁²）x²+32k₁x=0，
∴x_E=-$\frac{32{k}_{1}}{1+16{{k}_{1}}^{2}}$．
 同理x_F=-$\frac{32{k}_{2}}{1+16{{k}_{2}}^{2}}$        …（9分）
k_EF=$\frac{{y}_{E}-{y}_{F}}{{x}_{E}-{x}_{F}}$=$\frac{{k}_{1}{x}_{E}-{k}_{2}{x}_{F}}{{x}_{E}-{x}_{F}}$=$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{1-16{k}_{1}{k}_{2}}$=$\frac{3}{4}$
故直線EF的斜率為$\frac{3}{4}$．…（12分）

點評 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線與圓相切的條件，是中檔題．