Question

（本小題滿分12分）
已知f (x)＝．
（1）求函數(shù)f (x)的值域．
（2）若f (t)＝3，求t的值．
（3）用單調(diào)性定義證明在［2，＋∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

（1）（－∞，＋∞）;（2）;（3）見解析。

解析試題分析：（1）注意分段函數(shù)定義域和值域的求法和要求，第一段值域為（－∞，1］，第二段值域為（0，4），
第三段值域為［4，＋∞），綜上，函數(shù)的值域為（－∞，＋∞）．       ……4分
（2）g (t)＝3，即t＋2＝3，t≤－1，不存在；
x²＝3，－1＜x＜2，解得：x＝，即t＝；
2x＝3，x≥2，x不存在．
綜上，t的值為．              ……8分
（3）因為函數(shù)在［2，＋∞）上的解析式為f (x)＝2x，任取x₁，x₂∈［2，＋∞），且x₁＜x₂，則
f (x₁)－f (x₂)＝2x₁－2x₂＝2(x₁－x₂)＜0，所以函數(shù)在［2，＋∞）上單調(diào)遞增．  ……12分
考點(diǎn)：本題考查分段函數(shù)、利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性。
點(diǎn)評：分段函數(shù)的值域是各段表達(dá)式的y值的并集。