Question

17．試用二重積分性質(zhì)求下列極限
$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{n}^{3}}$$\underset{∬}{D}$[$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$]dσ．
這里D是圓域x²+y²≤n²，n是正整數(shù)，[$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$]是不是大于$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大正整數(shù)．
（已知1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$）

Answer 1

分析 先利用二重積分求得：$\underset{∬}{D}$[$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$]dσ=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，再求極限．

解答 解：$\underset{∬}{D}$[$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$]dσ=1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$
$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{n}^{3}}$$\underset{∬}{D}$[$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$]dσ=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{n}^{3}}$$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$=$\frac{1}{3}$．
故答案為：=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二重積分和求極限，屬于中檔題．