Question

12．如圖，在四棱錐S-ABCD中，所有側(cè)棱長與底面邊長均相等，E為SC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ） SA∥平面BDE；
（Ⅱ） SC⊥BD．

Answer 1

分析 （I）連接AC交BD于點(diǎn)O，則O為對角線AC的中點(diǎn)，由三角形中位線定理得OE∥SA，由此能證明SA∥平面BDE．
（II）連接OS，則SO⊥底面ABCD，從而SO⊥BD，進(jìn)而BD⊥平面SAC，由此能證明SC⊥BD．

解答 證明：（I）連接AC交BD于點(diǎn)O，則O點(diǎn)為底面正方形ABCD的中心，
點(diǎn)O為對角線AC的中點(diǎn)，
而E為棱SC的中點(diǎn)，
故在△SAC中，OE為中位線
∴OE∥SA
又OE?平面BDE，SA?平面BDE
由線面平行的判定定理可得：SA∥平面BDE．
（II）連接OS，在正四棱錐S-ABCD中，由題意知SO⊥底面ABCD，
在△SAC中，SA=SC，OA=OC，∴SO⊥AC，SO⊥AC，
在△SBD中，SB=SD，OB=OD，∴SO⊥BD，
而AC，BD?平面ABCD，且AC∩BD=O，
∴由線面垂直的判定定理可得：SO⊥平面ABCD，
而BD?平面ABCD，
再由線面垂直的性質(zhì)定理可得：SO⊥BD，
又在正方形ABCD中，AC⊥BD，
而AC，SO?平面SAC，AC∩SO=O，
∴由線面垂直的判定定理可得：BD⊥平面SAC，
又SC?平面SAC，
∴由線面垂直的性質(zhì)定理得：SC⊥BD．

點(diǎn)評 本題考查線面平行、線線垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．