Question

4．已知函數(shù)f（x）=（-x²+x-1）e^x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線；
（2）若方程f（x）-（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m）=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率k=f′（1），再求出f（1），代入直線方程的點(diǎn)斜式求得曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線；
（2）令g（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m，分別利用導(dǎo)數(shù)求出f（x），g（x）在定義域內(nèi)的極大值與極小值，把方程f（x）-（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m）=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)極值間的關(guān)系求解．

解答 解：（1）∵f（x）=（-x²+x-1）e^x，
∴f′（x）=（-2x+1）e^x+（-x²+x-1）e^x =（-x²-x）e^x，
∴曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率k=f′（1）=-2e，
又∵f（1）=-e，
∴曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+e=-2e（x-1），
即2ex+y-e=0；
（2）∵f′（x）=（-x²-x）e^x，
當(dāng)x＜-1或x＞0時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0．
∴f（x）在（-∞，-1），（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，在（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞增．
∴f（x）在x=-1處取得極小值f（-1）=$-\frac{3}{e}$，在x=0處取得極大值f（0）=-1．
令g（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m，得g′（x）=x²+x，
當(dāng)x＜-1或x＞0時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g′（x）＜0．
∴g（x）在（-∞，-1），（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減．
∴g（x）在x=-1處取得極大值g（-1）=$\frac{1}{6}+m$，在x=0處取得極小值g（0）=m．
∵方程f（x）-（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m）=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)f（x）與g（x）有3個(gè)不同交點(diǎn)．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＜g（-1）}\\{f（0）＞g（0）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{e}＜\frac{1}{6}+m}\\{-1＞m}\end{array}\right.$，
∴$-\frac{3}{e}-\frac{1}{6}＜m＜-1$．
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（$-\frac{3}{e}-\frac{1}{6}，-1$）．

點(diǎn)評(píng) 不同考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．