Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x﹣y+2=0相切．

（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)P（0，1），Q（0，2）．設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn)，直線PM與QN相交于點(diǎn)T，求證：點(diǎn)T在橢圓C上．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x﹣y+2=0相切，∴b= = ．

因?yàn)殡x心率e= = ，所以 = ，所以a=2 ．

所以橢圓C的方程為

（2）證明：由題意可設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為（x0，y0），（﹣x0，y0），則直線PM的方程為y= x+1，①

直線QN的方程為y= x+2． ②

設(shè)T（x，y），聯(lián)立①②解得x0= ，y0= ．

因?yàn)? ，所以 （ ）2+ （ ）2=1．

整理得 =（2y﹣3）2，所以 ﹣12y+8=4y2﹣12y+9，即 ．

所以點(diǎn)T坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，即點(diǎn)T在橢圓C上

【解析】（1）利用以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x﹣y+2=0相切，可得b的值，利用離心率為 ，即可求得橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為（x0 ， y0），（﹣x0 ， y0），求出直線PM、QN的方程，求得x0 ， y0的值，代入橢圓方程，整理可得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：即可以解答此題．