Question

下面四個命題：
①命題“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”；
②把函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

3

個單位，得到y(tǒng)=3sin2x的圖象；
③正方體的內(nèi)切球與其外接球的表面積之比為1：3；  
④若f（x）=sinxcosx，則存在正實數(shù)a，使得f（x-a）為奇函數(shù)，f（x+a）為偶函數(shù)．
其中所有正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離,簡易邏輯

分析：寫出原命題的否定可判斷①；根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則，求出平移后函數(shù)的解析式，可判斷②；根據(jù)正方體的內(nèi)切球與其外接球的半徑之比為：1：

3

，進而得到表面積比，可判斷③；根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷④．

解答： 解：對于①，命題“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”，故正確；
對于②，把函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

3

個單位，得到y(tǒng)=3sin[2（x-

π

3

）]=3sin（2x-

π

3

）的圖象，故錯誤；
對于③，正方體的內(nèi)切球與其外接球的半徑之比為：1：

3

，故表面積之比為1：3，故正確；  
對于④若f（x）=sinxcosx=

1

2

sin2x，則不存在使得f（x-a）為奇函數(shù)，f（x+a）為偶函數(shù)，故錯誤．
故正確命題的序號為：①③；
故答案為：①③

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用，命題的否定，函數(shù)圖象的平移變換，球的表面積，函數(shù)奇偶性，難度不太大，屬于中檔題．