Question

【題目】設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是公比為（）的等比數(shù)列，記.

（1）令，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）若，，數(shù)列前2項(xiàng)和為14，前8項(xiàng)和為857，求數(shù)列通項(xiàng)公式；

（3）在（2）的條件下，問(wèn)：數(shù)列中是否存在四項(xiàng)、、、成等差數(shù)列？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）；（3）不存在，理由見(jiàn)詳解.

【解析】

（1）根據(jù)題意，先得到，再計(jì)算，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可證明結(jié)論成立；

（2）根據(jù)題意，由等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，列出方程組求解，求出，即可得出通項(xiàng)公式；

（3）先假設(shè)數(shù)列中存在四項(xiàng)、、、成等差數(shù)列，不妨令，

根據(jù)反證法，由題意推出矛盾，即可得出結(jié)論.

（1）因?yàn)?/span>是公差為的等差數(shù)列，是公比為（）的等比數(shù)列，，

，

所以，

因此數(shù)列為公比為的等比數(shù)列；

（2）因?yàn)?/span>，，數(shù)列前2項(xiàng)和為14，前8項(xiàng)和為857，

所以，即，解得：，

所以，，

因此；

（3）假設(shè)數(shù)列中存在四項(xiàng)、、、成等差數(shù)列，不妨令，

則，

因?yàn)?/span>，所以①

若，則，

結(jié)合①得，

化簡(jiǎn)得：②，

因?yàn)?/span>，，易得，這與②矛盾；所以只能；

同理：，

因此、、為數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，從而，

即，故，即，

解得：，與矛盾；

所以假設(shè)不成立，從而數(shù)列中不存在四項(xiàng)、、、成等差數(shù)列.