Question

【題目】設是公差為的等差數列，是公比為（）的等比數列，記.

（1）令，求證：數列為等比數列；

（2）若，，數列前2項和為14，前8項和為857，求數列通項公式；

（3）在（2）的條件下，問：數列中是否存在四項、、、成等差數列？請證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）；（3）不存在，理由見詳解.

【解析】

（1）根據題意，先得到，再計算，根據等比數列的定義，即可證明結論成立；

（2）根據題意，由等差數列與等比數列的求和公式，列出方程組求解，求出，即可得出通項公式；

（3）先假設數列中存在四項、、、成等差數列，不妨令，

根據反證法，由題意推出矛盾，即可得出結論.

（1）因為是公差為的等差數列，是公比為（）的等比數列，，

，

所以，

因此數列為公比為的等比數列；

（2）因為，，數列前2項和為14，前8項和為857，

所以，即，解得：，

所以，，

因此；

（3）假設數列中存在四項、、、成等差數列，不妨令，

則，

因為，所以①

若，則，

結合①得，

化簡得：②，

因為，，易得，這與②矛盾；所以只能；

同理：，

因此、、為數列的連續(xù)三項，從而，

即，故，即，

解得：，與矛盾；

所以假設不成立，從而數列中不存在四項、、、成等差數列.