Question

17．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足sinA+sinB=[cosA-cos（π-B）]sinC．
（1）判斷△ABC是否為直角三角形，并說明理由；
（2）若a+b+c=1+$\sqrt{2}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)sinA+sinB=[cosA-cos（π-B）]sinC，由正、余弦定理，得a+b=（$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-^{2}}{2ca}$）c，化簡即可得出結(jié)論；
（2）1+$\sqrt{2}$=a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$，由此可求△ABC面積的最大值．

解答 解：（1）因?yàn)閟inA+sinB=（cosA+cosB）sinC，由正、余弦定理，得
a+b=（$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-^{2}}{2ca}$）c  …（2分）
化簡整理得（a+b）（a²+b²）=（a+b）c²
因?yàn)閍+b＞0，所以a²+b²=c²  …（4分）
故△ABC為直角三角形．且∠C=90°  …（6分）
（2）因?yàn)閍+b+c=1+$\sqrt{2}$，a²+b²=c²，所以1+$\sqrt{2}$=a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$
=（2+$\sqrt{2}$）•$\sqrt{ab}$ 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，上式等號成立   所以$\sqrt{ab}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（8分）
故S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{2}$×$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
即△ABC面積的最大值為$\frac{1}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查三角形形狀的判定，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，考查正、余弦定理，屬于中檔題．