Question

如圖，將邊長(zhǎng)為2，有一個(gè)銳角為60°的菱形，沿著較短的對(duì)角線對(duì)折，使得

，為的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：

（Ⅱ）求三棱錐的體積；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）見解析；（2）1；（3）

【解析】

試題分析：（1）利用線面垂直的判斷定理證明線面垂直，條件齊全.（2）利用棱錐的體積公式求體積.（3）證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；三是平行線法（若兩條平行線中的一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.解題時(shí)，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.（4）在求三棱柱體積時(shí)，選擇適當(dāng)?shù)牡鬃鳛榈酌�，這樣體積容易計(jì)算.（5）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問題代數(shù)化.同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備.

試題解析：（Ⅰ）連接，由已知得和是等邊三角形，為的中點(diǎn)，

又邊長(zhǎng)為2，

由于，在中，

，

（Ⅱ）,

（Ⅲ）解法一：過，連接AE，

，

即二面角的余弦值為.

解法二：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

顯然，平面的法向量為

設(shè)：平面的法向量，

由,，

∴二面角的余弦值為.

考點(diǎn)：（1）空間中線面垂直的判定；（2）三棱錐的體積公式；（3）利用空間向量證明線線垂直和求夾角.