Question

（14分）設(shè)集合W由滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的數(shù)列構(gòu)成：
①
②存在實(shí)數(shù)M，使（n為正整數(shù)）
（I）在只有5項(xiàng)的有限數(shù)列
；試判斷數(shù)列是否為集合W的元素；
（II）設(shè)是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，證明數(shù)列；并寫(xiě)出M的取值范圍；
（III）設(shè)數(shù)列且對(duì)滿(mǎn)足條件的M的最小值M₀，都有.
求證：數(shù)列單調(diào)遞增.

Answer 1

（I）不是集合W中的元素，是集合W中的元素.（II），且（III）見(jiàn)解析

（I）對(duì)于數(shù)列，
取顯然不滿(mǎn)足集合W的條件，①
故不是集合W中的元素，                                                             …………2分
對(duì)于數(shù)列，當(dāng)時(shí)，
不僅有
而且有，
顯然滿(mǎn)足集合W的條件①②，
故是集合W中的元素.                                                                      …………4分
（II）是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，

設(shè)其公比為q>0，
整理得

                                                                                               …………7分
對(duì)于
且
故，且                                                                …………9分
（III）證明：（反證）若數(shù)列非單調(diào)遞增，則一定存在正整數(shù)k，
使，易證于任意的，都有，證明如下：
假設(shè)
當(dāng)n=m+1時(shí)，由
而
所以
所以，對(duì)于任意的
顯然這k項(xiàng)中有一定存在一個(gè)最大值，不妨記為；
所以與這題矛盾.
所以假設(shè)不成立，故命題得證.                                                            …………14分