Question

5．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上的一動點P到左、右兩焦點F₁，F₂的距離之和為2$\sqrt{2}$，點P到橢圓一個焦點的最遠距離為$\sqrt{2}$+1．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過右焦點F₂的直線l交橢圓于A，B兩點．
①若y軸上存在一點M（0，$\frac{1}{2}$）滿足|MA|=|MB|，求直線l斜率k的值；
②是否存在這樣的直線l，使S_△ABO的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$（其中O為坐標原點）？若存在，求直線l方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：2a=2$\sqrt{2}$，a+c=$\sqrt{2}$+1，及其a²=b²+c²，聯立解出即可得出．
（II）①設直線l的方程為：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線方程與橢圓方程聯立化為：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，利用根與系數的關系、中點坐標公式可得線段AB的中點G$（\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}，\frac{-k}{1+2{k}^{2}}）$．
①k=0時滿足條件．k≠0時，滿足|MA|=|MB|，∴k_MG•k=-1，化為2k²-3k+1=0，解得k．
②當x⊥x軸時，直線l的方程為x=1．代入橢圓方程解得y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得S_△ABO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此時直線l的方程為：x=1．當k=0時，△ABO不存在，舍去．當k≠0時，可得S_△ABO=$\frac{1}{2}×1×|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{1}{2}|k（{x}_{1}-1）-k（{x}_{2}-1）|$=$\frac{|k|}{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{1}{2}\sqrt{{k}^{2}}$$•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，化簡即可得出結論．

解答 解：（I）由題意可得：2a=2$\sqrt{2}$，a+c=$\sqrt{2}$+1，及其a²=b²+c²，
解得a=$\sqrt{2}$，c=1=b，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（II）①設直線l的方程為：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=$\frac{-2k}{1+2{k}^{2}}$．
∴線段AB的中點G$（\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}，\frac{-k}{1+2{k}^{2}}）$．
①k=0時滿足條件．
k≠0時，∵滿足|MA|=|MB|，
∴k_MG•k=$\frac{\frac{-k}{1+2{k}^{2}}-\frac{1}{2}}{\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}-0}$•k=-1，化為2k²-3k+1=0，
解得k=1或$\frac{1}{2}$．
綜上可得：滿足條件的k的值為0，1，$\frac{1}{2}$．
②當x⊥x軸時，直線l的方程為x=1．代入橢圓方程解得y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得S_△ABO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此時直線l的方程為：x=1．
當k=0時，△ABO不存在，舍去．
當k≠0時，可得S_△ABO=$\frac{1}{2}×1×|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{1}{2}|k（{x}_{1}-1）-k（{x}_{2}-1）|$
=$\frac{|k|}{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{1}{2}\sqrt{{k}^{2}}$$•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{1}{2}\sqrt{{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\;}$$\sqrt{2}\sqrt{\frac{{k}^{2}（{k}^{2}+1）}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{\frac{{k}^{2}（{k}^{2}+1）}{（{k}^{2}+\frac{1}{2}）^{2}}}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴S_△ABO＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此k≠0時，不存在符合條件的直線l．
綜上所述：當且僅當直線l的方程為x=1時，S_△ABO的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數的關系、弦長公式、分類討論方法、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．