Question

1．橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦點為F₁、F₂，點P為這個橢圓上的動點，當∠F₁PF₂為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是（-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，$\frac{4\sqrt{6}}{3}$）．

Answer 1

分析 設P（x，y），根據(jù)橢圓方程求得兩焦點坐標，根據(jù)∠F₁PF₂是鈍角推斷出PF₁²+PF₂²＜F₁F₂²，代入P坐標求得x和y的不等式關系，求得x的范圍．

解答 解：設P（x，y），則F₁（-2$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（2$\sqrt{3}$，0），
∵∠F₁PF₂是鈍角，∴cos∠F₁PF₂＜0，
∴PF₁²+PF₂²＜F₁F₂²，
∴（x+2$\sqrt{3}$）²+y²+（x-2$\sqrt{3}$）²+y²＜48，
∴x²+y²＜18，
∴x²+4（1-$\frac{{x}^{2}}{16}$）＜18，
∴x²＜$\frac{32}{3}$，解得-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$＜x＜$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：（-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，$\frac{4\sqrt{6}}{3}$）．

點評 本題主要考查了橢圓的簡單性質和解不等式，∠F₁PF₂是鈍角推斷出PF₁²+PF₂²＜F₁F₂²，是解題關鍵，屬中檔題．