Question

15．已知F₁、F₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左、右焦點，過F₁且垂直于x軸的直線與橢圓交于M，N兩點，若△MNF₂為等腰直角三角形，則橢圓的離心率e為$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 把x=-c代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1方程，解得y=±$\frac{^{2}}{a}$．由于△MNF₂為等腰直角三角形，可得$\frac{^{2}}{a}$=2c，化簡整理即可得出．

解答 解：把x=-c代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1方程，解得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
∵△MNF₂為等腰直角三角形，
∴$\frac{^{2}}{a}$=2c，即a²-c²=2ac，
化為e²+2e-1=0，0＜e＜1．
解得e=$\sqrt{2}$-1．
故答案為：$\sqrt{2}$-1．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．