設⊙C1，⊙C2，…，⊙Cn是圓心在拋物線y=x2上的一系列圓，它們圓心的橫坐標分別記為a1，a2，…，an，已知a1=，a1＞a2＞…＞an＞0，若⊙Ck（k=1，2，3，…，n）都與x軸相切，且順次兩圓外切．
（1）求證：是等差數(shù)列；
（2）求an的表達式；
（3）求證：a12+a22+…+an2＜．
【答案】分析：（1）由題意知：⊙Cn：rn=，⊙Cn-1 ；，根據(jù)兩圓相外切的性質(zhì)可知|Cn-1Cn|=rn-1+rn，根據(jù)兩點間的距離公式整理可求，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可求進而可求an
（2）根據(jù)（1）可求，進而可求an
（3）由=，利用裂項求和及不等式的放縮法可證
解答：（1）證明：由題意知：rn=yn，
所以Cn-1（an-1，），Cn（an，）…（2分）
∵|Cn-1Cn|=rn-1+rn，
∴=…（4分）
兩邊平方，整理得 …（5分）
∵an-1＞an，
∴an-1-an=2an-1an…（6分）
∴…（7分）
故是以4為首項，公差為2的等差數(shù)列．…（8分）
（2）解：由（1）知，，
∴  …（10分）
（3）證明：∵…（11分）
=…（12分）
∴
=…（14分）
點評：本題主要考查了圓的外切性質(zhì)的應用，利用構造等差數(shù)列求解數(shù)列的通項公式及裂項求和方法的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設C1，C2，…，Cn，…是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線y=
3
3
x相切，對每一個正整數(shù)n，圓Cn都與圓Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半徑，已知{rn}為遞增數(shù)列．
（Ⅰ）證明：{rn}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設r1=1，求數(shù)列{
n
rn
}的前n項和．精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設C1，C2，…，Cn，…是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線y=
3
3
x相切，對每一個正整數(shù)n，圓Cn都與圓Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半徑，以（λn，0）表示Cn的圓心，已知{rn}為遞增數(shù)列．
（1）證明{rn}為等比數(shù)列（提示：
rn
λn
=sinθ，其中θ為直線y=
3
3
x的傾斜角）；
（2）設r1=1，求數(shù)列{
n
rn
}的前n項和Sn；
（3）在（2）的條件下，若對任意的正整數(shù)n恒有不等式Sn＞
9
4
-
an
rn
成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設雙曲線C1的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），A、B為其左、右兩個頂點，P是雙曲線C1上的任意一點，作QB⊥PB，QA⊥PA，垂足分別為A、B，AQ與BQ交于點Q．
（1）求Q點的軌跡C2方程；
（2）設C1、C2的離心率分別為e1、e2，當e1≥
2
時，求e2的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在極坐標系Ox中，已知曲線C1：ρcos（θ+
π
4
)=
2
2
，C2：ρ=1（0≤θ≤π），C3：
1
ρ2
=
cos2θ
3
+sin2θ，設C1與C2交于點M
（I）求點M的極坐標；
（II）若動直線l過點M，且與曲線C3交于兩個不同的點A，B，求
|MA|•|MB|
|AB|
的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設⊙C1，⊙C2，…，⊙Cn是圓心在拋物線y=x2上的一系列圓，它們圓心的橫坐標分別記為a1，a2，…，an，已知a1=
1
4
，a1＞a2＞…＞an＞0，若⊙Ck（k=1，2，3，…，n）都與x軸相切，且順次兩圓外切．
（1）求證：{
1
an
}是等差數(shù)列；
（2）求an的表達式；
（3）求證：a12+a22+…+an2＜
1
4
．

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